Elementarmathematik Beispiele

$3 \log (2 x) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x + 1) - 2 \log (8)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \log (2 x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(2 x)}^{3}) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x + 1) - 2 \log (8)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\log (2^{3} x^{3}) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x + 1) - 2 \log (8)$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\log (8 x^{3}) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x + 1) - 2 \log (8)$

Schritt 1.4

Vereinfache $- 2 \log (x + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (8 x^{3}) + \log (x^{2} - 1) - \log ({(x + 1)}^{2}) - 2 \log (8)$

Schritt 1.5

Vereinfache $- 2 \log (8)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (8 x^{3}) + \log (x^{2} - 1) - \log ({(x + 1)}^{2}) - \log (8^{2})$

Schritt 1.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\log (8 x^{3}) + \log (x^{2} - 1) - \log ({(x + 1)}^{2}) - \log (64)$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (8 x^{3} (x^{2} - 1)) - \log ({(x + 1)}^{2}) - \log (64)$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{8 x^{3} (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}}) - \log (64)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{8 x^{3} (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}}}{64})$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{8 x^{3} (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{64})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\log (\frac{8 x^{3} (x^{2} - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 64})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $64$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} (x^{2} - 1) \cdot 1$ heraus.

$\log (\frac{8 ((x^{3} (x^{2} - 1)) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 64})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus ${(x + 1)}^{2} \cdot 64$ heraus.

$\log (\frac{8 ((x^{3} (x^{2} - 1)) \cdot 1)}{8 ({(x + 1)}^{2} \cdot 8)})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{8 ((x^{3} (x^{2} - 1)) \cdot 1)}{8 ({(x + 1)}^{2} \cdot 8)})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{(x^{3} (x^{2} - 1)) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 8})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\log (\frac{x^{3} (x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 8})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (\frac{x^{3} (x^{2} - 1^{2})}{{(x + 1)}^{2} \cdot 8})$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log (\frac{x^{3} (x + 1) (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 8})$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{3} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\log (\frac{(x + 1) (x^{3} (x - 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 8})$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} \cdot 8$ heraus.

$\log (\frac{(x + 1) (x^{3} (x - 1))}{(x + 1) ((x + 1) \cdot 8)})$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{(x + 1) (x^{3} (x - 1))}{(x + 1) ((x + 1) \cdot 8)})$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{3} (x - 1)}{(x + 1) \cdot 8})$

Schritt 8.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\log (\frac{x^{3} (x - 1)}{8 (x + 1)})$