Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 k - 9}{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k - 9$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k$ heraus.

$\frac{3 (k) - 9}{2}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{3 k + 3 \cdot - 3}{2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 k + 3 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{3 (k - 3)}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 (k - 3)}{2}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} - \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} + \sum_{k = 1}^{44} - \frac{9}{2}$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\frac{3}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{44} k$

Schritt 3.2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{3}{2}) (\frac{44 (44 + 1)}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1.1

Addiere $44$ und $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{44 \cdot 45}{2}$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $44$ mit $45$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1980}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $1980$ heraus.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (990)}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 990}{2}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{990}{2})$

Schritt 3.2.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{990}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 990}{2}$

Schritt 3.2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $990$ .

$\frac{2970}{2}$

Schritt 3.2.4.4.2

Dividiere $2970$ durch $2$ .

$1485$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{44} - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- \frac{9}{2}) (44)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 9}{2} \cdot 44$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $44$ heraus.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 (22))$

Schritt 3.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 \cdot 22)$

Schritt 3.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 22$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $22$ .

$- 198$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1485 - 198$

Schritt 3.5

Subtrahiere $198$ von $1485$ .

$1287$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 4.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} + \sum_{k = 1}^{6} - \frac{9}{2}$

Schritt 4.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $\frac{3}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k$

Schritt 4.2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2}$

Schritt 4.2.4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (21)}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 21}{2}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{21}{2})$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $21$ .

$\frac{63}{2}$

Schritt 4.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} - \frac{9}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- \frac{9}{2}) (6)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 9}{2} \cdot 6$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 4.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 3$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$- 27$

Schritt 4.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{63}{2} - 27$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Um $- 27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{63 - 27 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{63 - 54}{2}$

Schritt 4.5.4.2

Subtrahiere $54$ von $63$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$1287 - \frac{9}{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $1287$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1287 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 6.2

Kombiniere $1287$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1287 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1287 \cdot 2 - 9}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $1287$ mit $2$ .

$\frac{2574 - 9}{2}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $9$ von $2574$ .

$\frac{2565}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2565}{2}$

Dezimalform:

$1282.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1282 \frac{1}{2}$