Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 0}^{15} 2 (\frac{4}{3}) n$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Multipliziere $2 (\frac{4}{3})$ .

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3} \cdot n$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{3} \cdot n$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $n$ .

$\frac{8 n}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 0}^{15} \frac{8 n}{3}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 0}^{15} \frac{8 n}{3} = \sum_{n = 1}^{15} \frac{8 n}{3} + \sum_{n = 0}^{0} \frac{8 n}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{15} \frac{8 n}{3}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{8}{3}$ aus der Summe raus.

$(\frac{8}{3}) \sum_{n = 1}^{15} n$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{8}{3}) (\frac{15 (15 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $15$ und $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{15 \cdot 16}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{240}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{240}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{240}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} \cdot 240$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $240$ heraus.

$\frac{4}{3} \cdot (3 (80))$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 80)$

Schritt 3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 80$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $80$ .

$320$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 0}^{0} \frac{8 n}{3}$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{8 \cdot 0}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $8 \cdot 0$ heraus.

$\frac{3 (8 \cdot 0)}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (8 \cdot 0)}{3 (1)}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (8 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \cdot 0}{1}$

Schritt 4.2.1.2.4

Dividiere $8 \cdot 0$ durch $1$ .

$8 \cdot 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$320 + 0$

Schritt 6

Addiere $320$ und $0$ .

$320$