Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 - t^{2})}^{2}$ als $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ um.

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- t^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $t^{4}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $t^{2}$ von $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe ${(1 + t^{2})}^{2}$ als $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ um.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Schritt 5

Multipliziere $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Schritt 6.2

Addiere $t^{2}$ und $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Schritt 8

Addiere $- 2 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Schritt 9

Addiere $t^{4}$ und $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Schritt 10

Addiere $2 t^{2}$ und $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Schritt 11

Schreibe $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{4}$ heraus.

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{2}$ heraus.

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ heraus.

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Schritt 11.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Schritt 11.2

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Schritt 11.3

Es sei $u = t^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Schritt 11.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Schritt 11.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 11.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 11.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 12

Schreibe $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ als ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 12.1

Stelle $2$ und ${(t^{2} + 1)}^{2}$ um.

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Schritt 13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Schritt 14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$