Elementarmathematik Beispiele

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Schritt 1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Schritt 3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Schritt 4

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Schritt 8

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Schritt 11.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 11.3

Vereinfache.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Potenziere $2 + \sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 12.2

Potenziere $2 + \sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

Schritt 12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

Schritt 13

Schreibe ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ um.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 14

Multipliziere $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Schritt 15.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Schritt 15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Schritt 15.2

Addiere $4$ und $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15.3

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 16.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 16.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Schritt 16.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 16.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Schritt 16.4.4

Dividiere $3 + 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$- 2.41421356 \dots$