Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} \cdot \frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ mit $\frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{(1 + x) (1 + x)}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Potenziere $1 + x$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} (1 + x)}}$

Schritt 5.2

Potenziere $1 + x$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} {(1 + x)}^{1}}}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1 + 1}}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}$ als ${(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))$ um.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2}}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(1 + x)}^{2}$ aus ${(1 + x)}^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}$

Schritt 7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{1 + x} \sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{1 + x}$ und $\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}}{1 + x}$