Elementarmathematik Beispiele

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - 2 x = 0$

Schritt 2.7.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2} \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0.25)}{1 - 2 \cdot 0.25} \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3} \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 1.2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze das Argument in $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \geq - 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ als ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 1$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \geq 0$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.2.4.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \geq 0$

Schritt 4.3.3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 4.3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 4.3.7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Schritt 4.4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.4.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4.2.3

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.1

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.4.2.3.2

Löse $1 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 4.4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.4.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Schritt 4.4.2.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.4.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 4.4.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Schritt 4.4.2.6.2.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.4.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.4.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Schritt 4.4.2.6.3.3

Die linke Seite $- 30$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.4.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 4.4.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - 2 x = 0$

Schritt 4.4.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 4.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \frac{1}{2})$

Schritt 4.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 4.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \geq - 1$

Schritt 4.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.12$

Schritt 4.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \geq - 1$

Schritt 4.6.2.3

Die linke Seite $0.56195148$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.38$

Schritt 4.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0.38$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \geq - 1$

Schritt 4.6.3.3

Die linke Seite $1.77951304$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.6.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \geq - 1$

Schritt 4.6.4.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 4.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ oder $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$

Schritt 4.8

Vereine die Intervalle.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze das Argument in $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \leq 1$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ als ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1^{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \leq 0$

Schritt 6.3.2

Vereinfache $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

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Schritt 6.3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.2.4.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \leq 0$

Schritt 6.3.3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 6.3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 6.3.7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Schritt 6.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 6.4.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4.2.3

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.3.1

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Schritt 6.4.2.3.2

Löse $1 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 6.4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.4.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.4.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.4.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Schritt 6.4.2.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 6.4.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Schritt 6.4.2.6.2.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.4.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Schritt 6.4.2.6.3.3

Die linke Seite $- 30$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 6.4.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - 2 x = 0$

Schritt 6.4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 6.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \frac{1}{2})$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \leq 1$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.12$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \leq 1$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $0.56195148$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.38$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0.38$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \leq 1$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $1.77951304$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.6.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \leq 1$

Schritt 6.6.4.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{4}$ Wahr

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - 2 x = 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \frac{1}{4}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 \leq x \leq \frac{1}{4}}$

Schritt 10