Elementarmathematik Beispiele

$2 (7^{2 x}) + 7^{x + 1} = 15$

Schritt 1

Schreibe $7^{x + 1}$ als $7^{x} \cdot 7^{1}$ um.

$2 \cdot 7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Schritt 2

Schreibe $7^{2 x}$ als Potenz um.

$2 \cdot {(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Schritt 3

Ersetze $7^{x}$ durch $u$ .

$2 u^{2} + u \cdot 7 = 15$

Schritt 4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 u^{2} + 7 u = 15$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + 7 u - 15 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$2 u^{2} + 7 (u) - 15 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$2 u^{2} + (- 3 + 10) u - 15 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 3 u + 10 u - 15 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 3 u) + 10 u - 15 = 0$

Schritt 5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 3) + 5 (2 u - 3) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u + 5) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u + 5 = 0$

Schritt 5.4

Setze $2 u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $2 u - 3$ gleich $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $2 u - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 3$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Schritt 5.5

Setze $u + 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $u + 5$ gleich $0$ .

$u + 5 = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 5$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 3) (u + 5) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{3}{2}, - 5$

Schritt 6

Setze $\frac{3}{2}$ für $u$ in $u = 7^{x}$ ein.

$\frac{3}{2} = 7^{x}$

Schritt 7

Löse $\frac{3}{2} = 7^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $7^{x} = \frac{3}{2}$ um.

$7^{x} = \frac{3}{2}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 7.3

Zerlege $\ln (7^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Schritt 8

Setze $- 5$ für $u$ in $u = 7^{x}$ ein.

$- 5 = 7^{x}$

Schritt 9

Löse $- 5 = 7^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $7^{x} = - 5$ um.

$7^{x} = - 5$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 5)$

Schritt 9.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 5)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 9.4

Es gibt keine Lösung für $7^{x} = - 5$

Keine Lösung

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 0.20836784 \dots$