Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x (x^{2}) - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ heraus.

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 5 u + 4$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} + 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u + 1) (u + 4)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 2 x (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Schritt 9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 9.1

Ordne Terme um.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1)$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Schritt 9.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 9.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 9.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 4) {(u - 1)}^{2}$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 4) {(x - 1)}^{2}$