Elementarmathematik Beispiele

$y = - \frac{32}{{(20)}^{2}} x^{2} + x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{32}{{(20)}^{2}} x^{2} + x + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{32}{20^{2}} x^{2} + x + 5 = 0$ um.

$- \frac{32}{20^{2}} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$- \frac{32}{400} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $400$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$- \frac{16 (2)}{400} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $400$ heraus.

$- \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{25} x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{25}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{25} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{2}}{25} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $25$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (- \frac{2 x^{2}}{25}) + 25 x + 25 \cdot 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x^{2}}{25}$ in den Zähler.

$25 (\frac{- 2 x^{2}}{25}) + 25 x + 25 \cdot 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 (\frac{- 2 x^{2}}{25}) + 25 x + 25 \cdot 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{2} + 25 x + 25 \cdot 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$- 2 x^{2} + 25 x + 125 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = 25$ und $c = 125$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 125)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 2 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 125$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 8 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $125$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1000}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $625$ und $1000$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{1625}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $1625$ als $5^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $1625$ heraus.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{25 (65)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$ .

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 2 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 125$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 8 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $125$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1000}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $625$ und $1000$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{1625}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $1625$ als $5^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $1625$ heraus.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{25 (65)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$ .

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 2 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 125$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 8 \cdot 125}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $125$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1000}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $625$ und $1000$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{1625}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $1625$ als $5^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $1625$ heraus.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{25 (65)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{- 25 \pm 5 \sqrt{65}}{- 4}$ .

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{25 - 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{65}}{4}, \frac{25 - 5 \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{25 + 5 \sqrt{65}}{4}, 0), (\frac{25 - 5 \sqrt{65}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{32}{{(20)}^{2}} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{32}{{(20)}^{2}} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{32}{20^{2}} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{32}{20^{2}} \cdot 0^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{32}{{(20)}^{2}} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $- \frac{32}{{(20)}^{2}} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = - \frac{32}{400} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $400$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = - \frac{16 (2)}{400} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.1.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $400$ heraus.

$y = - \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2}{25} \cdot {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - \frac{2}{25} \cdot 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.4

Multipliziere $- \frac{2}{25} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{2}{25}) + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{25}$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{25 + 5 \sqrt{65}}{4}, 0), (\frac{25 - 5 \sqrt{65}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4