Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

Schritt 3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ um.

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ mit $x$ .

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 = e^{2} x$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $e^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - e^{2} x = 0$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - e^{2} x = - 1$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x - e^{2} x$ heraus.

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Schritt 6.4.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - e^{2} x = - 1$

Schritt 6.4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

Schritt 6.4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- e^{2} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

Schritt 6.4.3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ heraus.

$x (1 - e^{2}) = - 1$

Schritt 6.4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

Schritt 6.4.3.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

Schritt 6.4.3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

Schritt 6.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ durch $1 - e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ durch $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.4.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e$ .

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Schritt 6.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e$ .

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Schritt 6.4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.4.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

Schritt 6.4.4.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 6.4.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$