Elementarmathematik Beispiele

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} = - 16$

Schritt 1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Schritt 2

Schreibe $25^{x}$ als ${(5^{2})}^{x}$ um.

${(5^{2})}^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Schritt 3

Schreibe ${(5^{2})}^{x}$ als ${(5^{x})}^{2}$ um.

${(5^{x})}^{2} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Schritt 4

Es sei $u = 5^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $5^{x}$ .

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $5^{x}$ .

${(5^{x} - 4)}^{2} = 0$

Schritt 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0}$

Schritt 8

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5^{x} - 4 = \pm 0$

Schritt 8.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$5^{x} - 4 = 0$

Schritt 9

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x} = 4$

Schritt 10

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Schritt 11

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (4)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (4)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$