Elementarmathematik Beispiele

$| 3 x - 2 | < 4$

Schritt 1

Schreibe $| 3 x - 2 | < 4$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$3 x - 2 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \geq 2$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $3 x - 2$ nicht negativ ist.

$3 x - 2 < 4$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$3 x - 2 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x < 2$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x < 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x < 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{2}{3}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $3 x - 2$ negativ ist.

$- (3 x - 2) < 4$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - (3 x - 2) < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (3 x - 2) < 4$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - (3 x) - - 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - 3 x - - 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - 3 x + 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $3 x - 2 < 4$ , wenn $x \geq \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $3 x - 2 < 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x < 4 + 2$

Schritt 2.1.1.2

Addiere $4$ und $2$ .

$3 x < 6$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x < 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x < 6$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{6}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} < \frac{6}{3}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{6}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x < 2$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 2$ und $x \geq \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \leq x < 2$

Schritt 3

Löse $- 3 x + 2 < 4$ , wenn $x < \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 3 x + 2 < 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 x < 4 - 2$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- 3 x < 2$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x < 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- 3 x < 2$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x > - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - \frac{2}{3}$ und $x < \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{2}{3} < x < 2$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{2}{3}, 2)$

Schritt 6