Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + 16 < 8 x$

Schritt 1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} + 16 - 8 x < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 16 - 8 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 16 - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 16 - 8 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot 8 - 8 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 x^{2} + 2 \cdot 8 + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot 8$ heraus.

$2 (x^{2} + 8) + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 8) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 8 - 4 x) = 0$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$2 (x^{2} - 4 x + 8) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 8)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 8)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x + 8$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x + 8 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Schritt 9

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 9.1

Bewege $16$ .

$2 x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 9.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$2 x^{2}$

Schritt 9.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$2$

Schritt 10

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $2 x^{2} + 16 - 8 x$ ist immer größer als $0$ .

Keine Lösung