Elementarmathematik Beispiele

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Schritt 3

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 3, - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Schritt 13

Löse in $\tan (x) = 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (3)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Berechne $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Schritt 13.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Schritt 13.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 13.4.3

Addiere $3.14159265$ und $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Löse in $\tan (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 14.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 14.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 14.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 14.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 14.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 14.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 14.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.6.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 14.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 14.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 16.1

Führe $1.24904577 + π n$ und $4.39063842 + π n$ zu $1.24904577 + π n$ zusammen.

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16.2

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{3 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$