Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(x - 2) (2 x + 1)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $(x - 2) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.1.4.2

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $(x + 2) (x - 1)$ .

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Schritt 4.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Schritt 4.2.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Schritt 4.2.3.4

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Schritt 4.2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x^{2} - 4 x$ und $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 4.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 4 x = 0$

Schritt 4.2.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.2.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x - 4) = 0$

Schritt 4.2.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.8

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.9

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.9.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.9.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ nicht erfüllen.

$x = 4$