Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Schritt 1.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (9)$ als $\ln (3^{2})$ um.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (3^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Schritt 2.4.2

Dividiere $\ln (3)$ durch $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 6 x = 3$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $36$ und $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ nicht erfüllen.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 0.46410161 \dots$