Elementarmathematik Beispiele

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 3.6.3

Addiere $2 π$ und $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{5 π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + π \cdot 3}{12}$

Schritt 7.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + 3 \cdot π}{12}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $10 π$ und $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Schritt 7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

Schritt 7.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{13 π}{6}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 4 π n, \frac{13 π}{6} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$