Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(x - 8) (x + 8)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 8) (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $(x - 8) (x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 8) - 8 (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 8 - 8 (x + 8) = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8$ .

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Schritt 4.2.1.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 8$ und $- 8 x$ neu an.

$x \cdot x + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.4.1.2

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$x \cdot x + 0 - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 8 \cdot 8 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$x^{2} - 64 = (x + 7) (x - 10)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $(x + 7) (x - 10)$ .

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere $(x + 7) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 64 = x (x - 10) + 7 (x - 10)$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot - 10 + 7 (x - 10)$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot - 10 + 7 x + 7 \cdot - 10$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot - 10 + 7 x + 7 \cdot - 10$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 10 \cdot x + 7 x + 7 \cdot - 10$

Schritt 4.2.2.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 10$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 10 x + 7 x - 70$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $- 10 x$ und $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Schritt 4.2.3

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Schritt 4.2.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $- 3 x - 70$ und $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Schritt 4.2.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 64 + 70$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 64$ und $70$ .

$- 3 x = 6$

Schritt 4.2.6

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 6$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 6$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Schritt 4.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.3.1

Dividiere $6$ durch $- 3$ .

$x = - 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$