Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 16 x - 192 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{3} + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x^{2} x + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (x) - x^{2} (- 4)$ heraus.

$- x^{2} (x - 4) + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{4} - 16 x - 192$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Schritt 1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Schritt 1.3.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{4} - 16 \cdot 4 - 192$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 - 16 \cdot 4 - 192$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$256 - 64 - 192$

Schritt 1.3.3.4

Subtrahiere $64$ von $256$ .

$192 - 192$

Schritt 1.3.3.5

Subtrahiere $192$ von $192$ .

$0$

Schritt 1.3.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 16 x - 192}{x - 4}$

Schritt 1.3.5

Dividiere $x^{4} - 16 x - 192$ durch $x - 4$ .

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

Schritt 1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Schritt 1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 4 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Schritt 1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Schritt 1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 16 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Schritt 1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Schritt 1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Schritt 1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

Schritt 1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Schritt 1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x^{2} - 64 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Schritt 1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

Schritt 1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Schritt 1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $48 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

Schritt 1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Schritt 1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $48 x - 192$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

Schritt 1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

$0$

Schritt 1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48$

Schritt 1.3.6

Schreibe $x^{4} - 16 x - 192$ als eine Menge von Faktoren.

$- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x - 4$ aus $- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $- x^{2} (x - 4)$ heraus.

$(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ heraus.

$(x - 4) (- x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Schritt 1.5

Addiere $- x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$(x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 4) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48) = 0$

Schritt 1.6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 4) (x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)) = 0$

Schritt 1.6.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} + 16)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 16$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 5.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3, 4 i, - 4 i$