Elementarmathematik Beispiele

x 구하기 5x^3+7x^2-11x+3=0
Schritt 1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
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Schritt 1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
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Schritt 1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.6
Addiere und .
Schritt 1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.9
Addiere und .
Schritt 1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 1.5
Dividiere durch .
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Schritt 1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
-+-+
Schritt 1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+-+
Schritt 1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+-+
+-
Schritt 1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+-+
-+
Schritt 1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+-+
-+
+
Schritt 1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+-+
-+
+-
Schritt 1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+
-+-+
-+
+-
Schritt 1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+
-+-+
-+
+-
+-
Schritt 1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+
-+-+
-+
+-
-+
Schritt 1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+
-+-+
-+
+-
-+
-
Schritt 1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+
-+-+
-+
+-
-+
-+
Schritt 1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+-
-+-+
-+
+-
-+
-+
Schritt 1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+-
-+-+
-+
+-
-+
-+
-+
Schritt 1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+-
-+-+
-+
+-
-+
-+
+-
Schritt 1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+-
-+-+
-+
+-
-+
-+
+-
Schritt 1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.
Schritt 4.2.2
Setze die Werte , und in die Quadratformel ein und löse nach auf.
Schritt 4.2.3
Vereinfache.
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Schritt 4.2.3.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.3.1.2
Multipliziere .
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Schritt 4.2.3.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.3.1.3
Addiere und .
Schritt 4.2.3.1.4
Schreibe als um.
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Schritt 4.2.3.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.3.1.4.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.3.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.3.3
Vereinfache .
Schritt 4.2.4
Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: