Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 7) (x - 4)) - \log_{5} (x) = 1$

Schritt 1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{(x - 7) (x - 4)}{x}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(x - 7) (x - 4) = 5 (x)$

Schritt 4

Multipliziere $5$ mit $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 5 x$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x - 7) (x - 4) - 5 x = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $(x - 7) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 4) - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Schritt 5.2.2.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 7 x + 28 - 5 x = 0$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 11 x + 28 - 5 x = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $5 x$ von $- 11 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} - 16 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 16$ ist.

$- 14, - 2$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Schritt 7

Vereinfache $(x - 14) (x - 2)$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere $(x - 14) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 2) - 14 (x - 2) = 0$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 (x - 2) = 0$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.2.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x + 28 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} - 16 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 16$ ist.

$- 14, - 2$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 14$ gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 14$

Schritt 11

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 14) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 14, 2$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 14$