Elementarmathematik Beispiele

$5^{7 x + 1} = 7^{x - 5}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{7 x + 1}) = \ln (7^{x - 5})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{7 x + 1})$ durch Herausziehen von $7 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(7 x + 1) \ln (5) = \ln (7^{x - 5})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (7^{x - 5})$ durch Herausziehen von $x - 5$ aus dem Logarithmus.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(7 x + 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x \ln (5) + 1 \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$7 x \ln (5) + \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (7) - 5 \ln (7)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x \ln (7)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x \ln (5) + \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $7 x \ln (5) - x \ln (7)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x \ln (5)$ heraus.

$x (7 \ln (5)) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (7)$ heraus.

$x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ heraus.

$x (7 \ln (5) - 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (7)$ als $- \ln (7)$ um.

$x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ durch $7 \ln (5) - \ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ durch $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 5 \ln (7) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 \ln (7)) - \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.5.1

Schreibe $- (5 \ln (7) + \ln (5))$ als $- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))$ um.

$x = \frac{- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Dezimalform:

$x = - 1.21660941 \dots$