Elementarmathematik Beispiele

Zerlege unter Anwendung der Partialbruchzerlegung (4x^2+2x-1)/(x^2(x+1))
Schritt 1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 1.1
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.2
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.5.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.5.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.4.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.4.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.4.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.4.2.5
Dividiere durch .
Schritt 1.5.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.9
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.9.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.6.1
Stelle und um.
Schritt 1.6.2
Bewege .
Schritt 1.6.3
Bewege .
Schritt 1.6.4
Bewege .
Schritt 2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.3
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.4
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.3
Löse in nach auf.
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Schritt 3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.3.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 3.3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3.2.2
Addiere und .
Schritt 3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.5
Löse in nach auf.
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Schritt 3.5.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.5.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 3.5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.6
Löse das Gleichungssystem.
Schritt 3.7
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 4
Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für , und ermittelt wurden.