Elementarmathematik Beispiele

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ aus $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

Schritt 4.1.2

Bewege $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot \cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $1$ aus $1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\cos^{0} (x)$ mit $1$ .

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ mit $1$ .

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 x)$