Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{x^{2} + 5 x - 6}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 2}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 3

Um $- \frac{2}{x + 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x - 1}$ mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 6}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 6)$ um.

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 2) (x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 6) + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $6 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x - 2 \cdot - 1 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 x$ von $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 12 + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Addiere $12$ und $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 14 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 6 x + 14 - 14$ .

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 0}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.3.2

Addiere $x^{2} + 6 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 6$ .

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Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Schritt 7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{x - 1}$