Elementarmathematik Beispiele

Zerlege unter Anwendung der Partialbruchzerlegung 4/(x(x-1))
Schritt 1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 1.1
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.2
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.5.4
Schreibe als um.
Schritt 1.5.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.5.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6
Bewege .
Schritt 2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.3
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.1.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.1.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.1.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.1.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 3.1.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 3.1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.1.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.3
Löse in nach auf.
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Schritt 3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.4
Löse das Gleichungssystem.
Schritt 3.5
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für und ermittelt wurden.