Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ als Gleichung.

$y = 2 x^{2} + x - 6$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + x - 6 = y$

Schritt 3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + x = y + 6$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ ein.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{1}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.3

Kombiniere $6$ und $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

Schritt 5.5.2

Addiere $48$ und $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ durch $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{49}{8}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Um $\frac{y}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Schritt 7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

Schritt 7.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$