Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 x^{3} - 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 x^{3} - 3$ als Gleichung.

$y = 6 x^{3} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 y^{3} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 y^{3} - 3 = x$ um.

$6 y^{3} - 3 = x$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{3} = x + 3$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{3} = x + 3$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{3} = x + 3$ durch $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{6}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{6}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Schritt 3.5.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ als $6$ um.

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Schritt 3.5.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6}$ als $6^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Schritt 3.5.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Schritt 3.5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ als $\sqrt[3]{6^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Schritt 3.5.7.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{36}}{6}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$

Schritt 3.5.8.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 x^{3} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 x^{3} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 3) + 3)}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $6 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $216 x^{3}$ als ${(6 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})}^{3} - 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}$ als $36 (x + 3)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{36 (x + 3)}$ als ${(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 108}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $36$ aus $36 x + 108$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 108}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.2.4.3

Faktorisiere $36$ aus $36 x + 36 \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{216}) - 3$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $216$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 (36)}) - 3$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 \cdot 36}) - 3$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$