Elementarmathematik Beispiele

$2 \log (x) = \log (2) + \log (5 x - 8)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2}) = \log (2) + \log (5 x - 8)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log (2) + \log (5 x - 8)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{2}) = \log (2 (5 x - 8))$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x^{2}) = \log (2 (5 x) + 2 \cdot - 8)$

Schritt 2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\log (x^{2}) = \log (10 x + 2 \cdot - 8)$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\log (x^{2}) = \log (10 x - 16)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 10 x - 16$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x = - 16$

Schritt 4.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x - 2) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 4.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 2$