Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x + 30} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 30}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 30}$ als ${(x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 30)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 30 = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 30 - x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x + 30 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege $30$ .

$x - x^{2} + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 30 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $30$ als $- 1 (- 30)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 30)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 6, 5$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 6) (x + 5) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 6) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 30} = x$ nicht erfüllen.

$x = 6$