Algebra Beispiele

$\sqrt{3 x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x + 1}}^{2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 1}$ als ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 1)}^{1} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 1 = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$ um.

$3 x + 1 = (2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 1 = 2 (2 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (2 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 1 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (2 + \sqrt{x + 1})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 1 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 2 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 2 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 1}$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$3 x + 1 = 5 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $2 \sqrt{x + 1}$ und $2 \sqrt{x + 1}$ .

$3 x + 1 = 5 + 4 \sqrt{x + 1} + x$

Schritt 3

Löse nach $4 \sqrt{x + 1}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 + 4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1$ um.

$5 + 4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $4 \sqrt{x + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1 - 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x + 1} = 3 x + 1 - 5 - x$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$4 \sqrt{x + 1} = 2 x + 1 - 5$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$4 \sqrt{x + 1} = 2 x - 4$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(x + 1)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$16 (x + 1) = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 16 \cdot 1 = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 x + 16 = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(2 x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 4)}^{2}$ als $(2 x - 4) (2 x - 4)$ um.

$16 x + 16 = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 4) (2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 16 = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 16 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 16 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 x + 16$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 16 x + 16 - 16 x = 16$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 16 = 16$

Schritt 6.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 32 x + 16 - 16 = 0$

Schritt 6.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 32 x + 16 - 16$ .

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 0 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $4 x^{2} - 32 x$ und $0$ .

$4 x^{2} - 32 x = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} - 32 x$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 x (x) - 32 x = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 32 x$ heraus.

$4 x (x) + 4 x (- 8) = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (- 8)$ heraus.

$4 x (x - 8) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.8

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6.8.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$ nicht erfüllen.

$x = 8$