Elementarmathematik Beispiele

$12 + 2 e^{- 2 x}$

Schritt 1

Schreibe $12 + 2 e^{- 2 x}$ als Funktion.

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 (x + h)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$ .

$12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - (12 + 2 e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 1 \cdot 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 0 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Schritt 5.5

Addiere $2 e^{- 2 x - 2 h}$ und $0$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Schritt 5.6

Schreibe $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 x - 2 h}$ heraus.

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- 2 x}$ heraus.

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})$ heraus.

$\frac{2 (e^{- 2 x - 2 h} - e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5.6.2

Schreibe $e^{- 2 x - 2 h}$ als ${(e^{- x - h})}^{2}$ um.

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5.6.3

Schreibe $e^{- 2 x}$ als ${(e^{- x})}^{2}$ um.

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - {(e^{- x})}^{2})}{h}$

Schritt 5.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- x - h}$ und $b = e^{- x}$ .

$\frac{2 (e^{- x - h} + e^{- x}) (e^{- x - h} - e^{- x})}{h}$

Schritt 6