Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x - 3} + 2$ als Gleichung.

$y = e^{x - 3} + 2$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = e^{x - 3} + 2$ für $f (6)$ und $f (3)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $e^{3} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.6.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.6.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.6.3.1

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$