Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) + 8}{(x + h) - 3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ .

$\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} - (\frac{x + 8}{x - 3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{x + 8}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 3) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 8}{x - 3}$ mit $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + h - 3)$ um.

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Multipliziere $(x + h + 8) (x - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 \cdot x + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 \cdot h + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 h + 8 x - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Addiere $- 3 x$ und $8 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 1 \cdot 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Multipliziere $(- x - 8) (x + h - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.7.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Subtrahiere $8 x$ von $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 + 0 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $5 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{\frac{h x - 3 h - 24 - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.12.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + x h - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.14

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.15

Subtrahiere $8 h$ von $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- 11 h - 24 + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.16

Addiere $- 24$ und $24$ .

$\frac{\frac{- 11 h + 0}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.17

Addiere $- 11 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ in den Zähler.

$\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 11 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Schritt 5