Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ für $f (3)$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Dividiere $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Schritt 3.2.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.9

Multipliziere $3 (- 0)$ .

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Schritt 3.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.10

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $3 (- (1))$ .

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Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Dezimalform:

$0.47140452 \dots$