Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} + x$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + x + h$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + x + h$

Schritt 2.1.2.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Schritt 2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + x + h$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x + h$

Schritt 2.2.3

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + h + x$

Schritt 2.2.4

Bewege $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + h + x$

Schritt 2.2.5

Bewege $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

Schritt 2.2.6

Stelle $3 h^{2} x$ und $h^{3}$ um.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

$f (x) = x^{3} + x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x$

$f (x) = x^{3} + x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x - (x^{3} + x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h + x - x^{3} - x}{h}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + x + 0 - x}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + x - x}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h + 0}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $h$ aus $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2} x$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h x^{2}$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h}{h}$

Schritt 4.1.6.4

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h^{1}}{h}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.6.6

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2}) + h (3 h x)$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.6.7

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.6.8

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 1$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.3

Stelle $3 x h$ und $3 x^{2}$ um.

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 1$

Schritt 5