Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.3

Um $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ mit $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ mit $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ um.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Schritt 4.1.4.4

Stelle die Faktoren von $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ um.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3

Multipliziere $(- x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.2

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4.3

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.5

Multipliziere $(x + h + 6) (x + h - 6)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ .

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Schritt 4.1.6.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 6$ und $6 x$ neu an.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6.2

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6.3

Addiere $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ und $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6.4

Ordne die Faktoren in den Termen $h \cdot - 6$ und $6 h$ neu an.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6.5

Addiere $- 6 h$ und $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6.6

Addiere $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.7.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.7.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.8

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 4.1.6.8.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.8.2

Addiere $x h$ und $x h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.10

Addiere $0$ und $36$ .

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.11

Subtrahiere $36$ von $36$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.12

Addiere $2 x h + h^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13

Faktorisiere $h$ aus $2 x h + h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.6.13.1

Faktorisiere $h$ aus $2 x h$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.1.6.13.3

Faktorisiere $h$ aus $h (2 x) + h (h)$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

Schritt 5