Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = (x + 3) (x - 3)$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = ((x + h) + 3) ((x + h) - 3)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere $(x + h + 3) (x + h - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h - 3 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 0 + 3 h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.1.3

Addiere $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3$ und $0$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 + 3 h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.1.4

Ordne die Faktoren in den Termen $h \cdot - 3$ und $3 h$ neu an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 3 h + 3 h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.1.5

Addiere $- 3 h$ und $3 h$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.1.6

Addiere $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ und $0$ .

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 \cdot - 3$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 9$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 9$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 9$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 9$

Schritt 2.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

$f (x) = x^{2} - 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9$

$f (x) = x^{2} - 9$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - (x^{2} - 9)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - x^{2} - - 9}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 9 - x^{2} + 9}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 9 + 9}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 9 + 9}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{2} + 2 h x$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h + 2 x$ durch $1$ .

$h + 2 x$

Schritt 4.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$2 x + h$

Schritt 5