Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Schritt 4.5

Addiere $3 e^{- 3 x - 3 h}$ und $0$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Schritt 4.6

Schreibe $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{- 3 x - 3 h}$ heraus.

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{- 3 x}$ heraus.

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ heraus.

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4.6.2

Schreibe $e^{- 3 x - 3 h}$ als ${(e^{- x - h})}^{3}$ um.

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

Schritt 4.6.3

Schreibe $e^{- 3 x}$ als ${(e^{- x})}^{3}$ um.

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

Schritt 4.6.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = e^{- x - h}$ und $b = e^{- x}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

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Schritt 4.6.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.2

Multipliziere $e^{- x - h}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- x})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

Schritt 4.6.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

Schritt 5