Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ um.

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ an.

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Schritt 3.2.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3125$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Schritt 3.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{7}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3125 x$ an.

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Schreibe $3125$ als $5^{5}$ um.

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Potenziere $5$ mit $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $5$ mit $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $78125$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $78125 x^{\frac{7}{5}}$ an.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $78125$ als $5^{7}$ um.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.2.1

Dividiere $x^{\frac{1}{5}}$ durch $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$