Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ um.

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ als ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Vereinfache.

$9 y - 81 = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y = x^{3} + 81$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y = x^{3} + 81$ durch $9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = x^{3} + 81$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $81$ durch $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ als $9 (x - 9)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ als ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 x - 81$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 81$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x + 9 \cdot - 9$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 9$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{x^{3}}{9}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{9 x^{3}}{9}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Schritt 5.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 5.3.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$