Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - y = 2 x + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 2 x + 1 - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 2 x + 1 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 2 x + 1 - x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 1} + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 x) + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 x)$ als $- (2 x)$ um.

$y = - (2 x) + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 x + \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y = - 2 x - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 2 x - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = - 2 x - 1 + x^{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 x - 1 + x^{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Bewege $- 1$ .

$- 2 x + x^{2} - 1$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $- 2 x$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 1$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.4.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = - 1 - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 2$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - 1)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 2)$

Schritt 4