Elementarmathematik Beispiele

$f (x, y) = \sqrt{y^{2} - x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y^{2} - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{2} - x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y^{2} \geq x$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{y^{2}} \geq \sqrt{x}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | \geq \sqrt{x}$

Schritt 2.4

Schreibe $| y | \geq \sqrt{x}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y \geq \sqrt{x}$

Schritt 2.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $y \geq \sqrt{x}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 0$ .

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Schritt 2.4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y \geq \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.3.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 2.4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $[0, \infty)$ .

$y \geq 0$

Schritt 2.4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 2.4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y \geq \sqrt{x}$

Schritt 2.4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \geq \sqrt{x}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 0$ .

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Schritt 2.4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \geq \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.6.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 2.4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 0$ und $[0, \infty)$ .

$Keine Lösung$

Schritt 2.4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y \geq \sqrt{x} & y \geq 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq \sqrt{x}$ und $y \geq 0$ .

$y \geq \sqrt{x}$ und $y \geq 0$

Schritt 2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$y \geq N o (Max i m u m)$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 4