Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{7}}{8} + 8$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{7}}{8} + 8$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$ um.

$\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{7}}{8} = x - 8$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{7} = 8 (x - 8)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $8 (x - 8)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{7} = 8 x + 8 \cdot - 8$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$y^{7} = 8 x - 64$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{8 x - 64}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 64$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \sqrt[7]{8 (x) - 64}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$y = \sqrt[7]{8 x + 8 \cdot - 8}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 8$ heraus.

$y = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 ((\frac{x^{7}}{8} + 8) - 8)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8} + 0)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\frac{x^{7}}{8}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8})}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{7}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 x^{7}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{8 (x - 8)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(\sqrt[7]{8 (x - 8)})}^{7}}{8} + 8$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe ${\sqrt[7]{8 (x - 8)}}^{7}$ als $8 (x - 8)$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8 (x - 8)}$ als ${(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{({(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x - 64}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.4

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 64$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x) - 64}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.1.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 8$ heraus.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Schritt 5.3.3.2.2

Dividiere $x - 8$ durch $1$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x - 8 + 8$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$