Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ nicht definiert ist.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Schritt 2

Da $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\ln (2)$ von links und $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\ln (2)$ von rechts, dann ist $x = \ln (2)$ eine vertikale Asymptote.

$x = \ln (2)$

Schritt 3

Da $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\ln (3)$ von links und $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\ln (3)$ von rechts, dann ist $x = \ln (3)$ eine vertikale Asymptote.

$x = \ln (3)$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Schritt 5

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 5.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 5.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 5.2

Da der Exponent $2 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{2 x}$ $0$ an.

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.3.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Schritt 5.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Schritt 5.4

Da der Exponent $2 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{2 x}$ $0$ an.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Schritt 5.6

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.7.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \cdot 0 + 2$ und $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Schritt 5.7.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \cdot 0$ heraus.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Schritt 5.7.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Schritt 5.7.2.1.4

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Schritt 5.7.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Schritt 5.7.2.1.6

Stelle die Terme um.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Schritt 5.7.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Schritt 5.7.2.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Schritt 5.7.2.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Schritt 5.7.2.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ heraus.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Schritt 5.7.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Schritt 5.7.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Schritt 5.7.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Schritt 5.7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Schritt 5.7.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Schritt 5.7.2.3.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Schritt 5.7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 6

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 7

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \ln (2), \ln (3)$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{1}{3}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 9