Elementarmathematik Beispiele

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{\ln (x + y)}$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ um.

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

Schritt 1.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\ln (x + y)}$ als ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere ${(f x, f y)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Schritt 4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.4.2.1

Zerlege $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ durch Herausziehen von ${(f x, f y)}^{2}$ aus dem Logarithmus.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere ${(f x, f y)}^{2}$ mit $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $\ln (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Schritt 4.4.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Schritt 4.4.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.6.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.4.6.2.1

Zerlege $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ durch Herausziehen von ${(f x, f y)}^{2}$ aus dem Logarithmus.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.2.3

Mutltipliziere ${(f x, f y)}^{2}$ mit $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.3

Subtrahiere $\ln (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Schritt 4.4.6.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Schritt 4.4.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Schritt 4.4.6.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.6.6.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.4.6.6.2.1

Zerlege $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ durch Herausziehen von ${(f x, f y)}^{2}$ aus dem Logarithmus.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.2.3

Mutltipliziere ${(f x, f y)}^{2}$ mit $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.3

Subtrahiere $\ln (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Schritt 4.4.6.6.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Schritt 4.4.6.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Schritt 4.4.6.6.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.6.6.6.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.6.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.4.6.6.6.2.1

Zerlege $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ durch Herausziehen von ${(f x, f y)}^{2}$ aus dem Logarithmus.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.6.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Schritt 4.4.6.6.6.2.3

Mutltipliziere ${(f x, f y)}^{2}$ mit $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Schritt 5

Setze das Argument in $\ln (x + y)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x + y > 0$

Schritt 6

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - y$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$