Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x + 3) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3) (x + 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 3) (x + 2)$ um.

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x (x - 1) + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $(x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x (x + 2) - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 6.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 2$ und $- 2 x$ neu an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.5.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Schritt 6.7

Addiere $3 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$