Algebravorstufe Beispiele

$12 \sqrt[4]{x} - 17 \sqrt[8]{x} + 6$

Schritt 1

Schreibe $12 \sqrt[4]{x} - 17 \sqrt[8]{x} + 6$ als Funktion.

$f (x) = 12 \sqrt[4]{x} - 17 \sqrt[8]{x} + 6$

Schritt 2

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $- 1$

Leitkoeffizient: $12$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{12 \sqrt[4]{x}}{12} + \frac{- 17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6}{12}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $\sqrt[4]{x}$ durch $1$ .

$f (x) = \sqrt[4]{x} + \frac{- 17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6}{12}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = \sqrt[4]{x} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6}{12}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (x) = \sqrt[4]{x} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6 (1)}{12}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (x) = \sqrt[4]{x} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \sqrt[4]{x} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \sqrt[4]{x} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $- 1$

Leitkoeffizient: $- 17$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{- \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12}}{- 17} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} - \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12} \cdot \frac{1}{- 17} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17 \sqrt[8]{x}}{12}$ in den Zähler.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{- 17 \sqrt[8]{x}}{12} \cdot \frac{1}{- 17} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $17$ aus $- 17 \sqrt[8]{x}$ heraus.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{17 (- \sqrt[8]{x})}{12} \cdot \frac{1}{- 17} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $17$ aus $- 17$ heraus.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{17 (- \sqrt[8]{x})}{12} \cdot \frac{1}{17 (- 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{17 (- \sqrt[8]{x})}{12} \cdot \frac{1}{17 \cdot - 1} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.3.5

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{- \sqrt[8]{x}}{12} \cdot \frac{1}{- 1} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt[8]{x}}{12}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{- \sqrt[8]{x}}{12 \cdot - 1} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{- \sqrt[8]{x}}{- 12} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{\sqrt[8]{x}}{12} + \frac{\frac{1}{2}}{- 17}$

Schritt 5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{\sqrt[8]{x}}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 17}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{\sqrt[8]{x}}{12} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{17})$

Schritt 5.9

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{17})$ .

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{17}$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{\sqrt[8]{x}}{12} - \frac{1}{2 \cdot 17}$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt[4]{x}}{17} + \frac{\sqrt[8]{x}}{12} - \frac{1}{34}$

Schritt 6

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{1}{34}$

Schritt 7

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 7.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{1}{34} |$

Schritt 7.2

$- \frac{1}{34}$ ist ungefähr $- 0.02941176$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{34}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{1} = \frac{1}{34} + 1$

Schritt 7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{1}{34} + \frac{34}{34}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{1 + 34}{34}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $34$ .

$b_{1} = \frac{35}{34}$

Schritt 8

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 8.1

$- \frac{1}{34}$ ist ungefähr $- 0.02941176$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{34}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{1}{34}$

Schritt 8.2

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = \frac{1}{34}, 1$

Schritt 8.3

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 1$

Schritt 9

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = \frac{35}{34}$ oder $b_{2} = 1$ .

Kleinere Schranke: $1$

Schritt 10

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 12 \sqrt[4]{x} - 17 \sqrt[8]{x} + 6$ liegt zwischen $- 1$ und $1$ .

$- 1$ und $1$