Algebravorstufe Beispiele

$m = \frac{y^{2} - y}{x^{2} - x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2} - y}{x^{2} - x} = m$ um.

$\frac{y^{2} - y}{x^{2} - x} = m$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} - x$ .

$\frac{y^{2} - y}{x^{2} - x} (x^{2} - x) = m (x^{2} - x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} - y}{x^{2} - x} (x^{2} - x) = m (x^{2} - x)$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - y = m (x^{2} - x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $m (x^{2} - x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - y = m x^{2} + m (- x)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} - y = m x^{2} - m x$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $m x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - m x^{2} = - m x$

Schritt 4.1.2

Addiere $m x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - m x^{2} + m x = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - m x^{2} + m x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- m x^{2} + m x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- m x^{2} + m x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- m x^{2} + m x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 (- m x^{2}) - 4 (m x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{1 + 4 m x^{2} - 4 m x}}{2}$